วิชาคณิตศาสตร์: ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ความหมายของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
สมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ
สมการที่อยู่ในรูปทั่วไปคือ Ax + By + C = 0
เมื่อ A, B, C เป็นค่าคงที่ A, B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ x, y เป็นตัวแปร
สามารถทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย เพื่อความสะดวกในการเขียนกราฟมากขึน คือ y =
mx + c โดยที่ m เป็นความชัน = (-A)/B และ c เป็นระยะตัดแกน
y = (-C)/B
ข้อสังเกต
- สมการเชิงเส้นสองตัวแปร เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็น 1 และไม่มีการคูณกันของตัวแปร
- คำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ที่มี x และ y เป็นตัวแปร ได้แก่ค่าของ x และ y ที่ทำให้สมการเป็นจริง นิยมเขียนในรูปคู่อันับ (x , y) เช่น (4 , 8) จะได้ว่า x = 4 และ y = 8
ตัวอย่างโจทย์ทั่วไป
1.นำเงิน 48 บาทไปตลาด พบว่า
ถ้าซื้อมะม่วง 5 ผล และสับปะรด 7 ผล
จะขาดเงินไป 2 บาทแต่ถ้าซื้อมะม่วง 7 ผล
และสับปะรด 5 ผล จะเหลือเงิน 2 บาท
สับปะรดราคาแพงกว่ามะม่วงเท่าใด
2.ซื้อปากกาขายสองชนิด ชนิดหนึ่งจำนวน 25 ด้าม อีกชนิดหนึ่งจำนวน 20 ด้าม รวมเป็นเงิน 275 บาท ขายปากกาชนิดแรกได้กำไร 20% และขายชนิดที่สองได้กำไร 15% รวมเป็นกำไรทั้งสิน 50 บาท ปากกาสองชนิดนี้ราคาด้ามละเท่าไร
(1) = (2)
; (x+y)
= (x-y)
= 
+ 
-
X =25
X = -4
x + 
y = 5 -(1) 
x – 
y = 2 -(2)
2.ซื้อปากกาขายสองชนิด ชนิดหนึ่งจำนวน 25 ด้าม อีกชนิดหนึ่งจำนวน 20 ด้าม รวมเป็นเงิน 275 บาท ขายปากกาชนิดแรกได้กำไร 20% และขายชนิดที่สองได้กำไร 15% รวมเป็นกำไรทั้งสิน 50 บาท ปากกาสองชนิดนี้ราคาด้ามละเท่าไร
3.เลขจำนวนหนึ่งประกอบด้วยสองหลัก
เลขหน่วยมากกว่าเลขหลักสิบอยู่ 5 ผลบวกของเลขจำนวนนี้กับจำนวนเลขที่มีเลขสับหลักกั้นกับจำนวนเดิมเป็น
143 จงหาเลขจำนวนเติม
4.เมื่อ 10 ปีล่วงมาแล้ว
บิดามีอายุเป็น 4 เท่าของบุตร ต่อจากปัจจุบันนี้ไปอีก 6
ปี บิดาจะมีอายุเป็น 2 เท่าของบุตร
ปัจจุบันทั้งสองมีอายุคนละกี่ปี
5. จาก 3x+2y = 0 ………. (1)
2x-3y = 26 ………. (2)
แล้ว
- 
เท่ากับเท่าใด
- เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
(1) x 3 ;
9x+6y = 0 ………. (3)
(2) x 2 ; 4x-6y = 52 ………. (4)
(3)+(4) ; 13x = 52
x = 4
12+2y = 0
2y
= -12
y
= -6
- 
= 
- 
- = -
= 
6. ผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น
25 และถ้าจำนวนจำนวนหนึ่งมีค่ามากกว่าอีกจำนวนหนึ่งอยู่
7 จงหาค่าของจำนวนสองจำนวนนั้น
วิธีทำ
ให้จำนวนที่มีค่ามากกว่าเป็น x
อีกจำนวนหนึ่งเป็น y
x+y =
25 ………. (1)
x-y =
7 ………. (2)
(1)+(2) ; 2x = 32
x = 16
ดังนั้น y =
9
7. ถ้านับวัวและนกกระจอกเทศรวมกันได้
44 ตัว
นับขาวัวและขานกกระจอกเทศในฟาร์มรวมกันได้ 164 ขา จงหาว่าฟาร์มแห่งนี้มีวัวและนกกระจอกเทศอย่างละกี่ตัว
วิธีทำ
ให้จำนวนวัวเป็น x
จำนวนนกกระจอกเทศเป็น y
x+y = 44 …….(1)
4x+2y = 164 ……..(2)
(1)x4 ; 4x+4y = 176
(1)-(2); 2y = 12
y = 6
ดังนั้น x = 38
8.
ผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 9 ถ้าจำนวนมากมากกว่าจำนวนน้อยอยู่
19 จงหาจำนวนน้อย
วิธีทำ
ให้ x เป็นจำนวนที่มากกว่า
y
เป็นจำนวนที่น้อยกว่า
x+y
= 9 ………. (1)
x-y
= 19 ……… (2)
(1)+(2)
; 2x = 28
x = 14
y = -5
9. ชายคนหนึ่งพายเรือจากท่าน้ำ
ก ไปท่าน้ำ ข ใช้เวลา 50 นาที แต่ขากลับเสียเวลา 1 ชั่วโมง 10 นาที จงหาอัตราส่วนระหว่างอัตราเร็วของการพายเรือในน้ำนิ่งต่ออัตราเร็วของกระแสน้ำ
วิธีทำ
จากสูตร s = vt
ไป
; s = (x+y)
………. (1)
………. (1)
กลับ ; s = (x-y)
………. (2)
………. (2)(1) = (2)
; (x+y) = (x-y)
5x+5y = 7x-7y
12y = 2x
2x = 12y
=
x:y = 6:1
10. ท่าน้ำสองท่าห่างกัน 4500 เมตร นาย ก พายเรือจากท่าหนึ่งไปอีกท่าหนึ่ง
โดยขาไปพายเรือตามน้ำใช้เวลา 45 นาที
แต่ขากลับพายเรือทวนน้ำใช้เวลานานเป็นสองเท่าของขาไป จงหาอัตราเร็วของกระแสน้ำ
วิธีทำ
|
จากสูตร s = vt
|
|
ไป ; 4.5 = (x+y)
6 = x+y ……… (1)
6 = x+y ……… (1)
|
กลับ ; 4.5 = (x-y)
3 = x-y ……… (2)
3 = x-y ……… (2)
(1)+(2) ; 2x = 9
x = 4.5
y = 1.5
11. นิดมีเงินมากกว่าหน่อย 12 บาท
แต่ถ้านิดและหน่อยนับเงินรวมกันได้ 44 บาท
อยากทราบว่านิดและหน่อยมีเงินคนละเท่าไหร่
วิธีทำ
ให้นิดมีเงิน x บาท
หน่อบมีเงิน y บาท
x-y = 12 ………. (1)
x+y = 44 ………. (2)
(1)+(2) ; 2x = 56
x = 28
ดังนั้น y = 16
12. กล้วยและก้อย มีเงินรวมกัน 50 บาท
แต่กล้วยมีเงินมากกว่าก้อย 8 บาท
จงหาว่ากล้วยและก้อยมีเงินคนล่ะเท่าไหร่
วิธีทำ
ให้กล้วยมีเงิน x บาท
ก้อยมีเงิน y บาท
x+y = 50 ………. (1)
x-y = 8 ……… (2)
(1)+(2) ; 2x = 58
x = 29
ดังนั้น y = 21
13.ชายคนหนึ่งมีเหรียญห้าบาท
และสิบบาท รวมกัน 39 เหรีญ ซึ่งคิดเป็นจำนวนเงินได้ 265 บาท
จงหาจำนวนของเหรีญทั้งสองชนิด
วิธีทำ สมมติให้
มีเหรีญห้าบาท x เหรียญ
มีเหรีญสิบบาท y เหรียญ
จำนวนเหรีญรวมกัน 39 เหรียญ จะได้สมการ x + y = 39
จำนวนเงินรวมกัน 265 บาท จะได้สมการ 5x + 10y = 265
จะได้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสองสมการ คือ
x + y = 39
5x + 10y = 265
แก้ระบบสมการเชิงเส้น จะได้ x = 25, y = 14
ตรวจคำตอบ
จำนวนเหรียญรวมกันทั้งสองชนิดเท่ากับ 25 + 14 = 39
เหรียญ
จำนวนเงินรวมกันได้ 25(5) + 14(10) = 265
14.ท่อน้ำ 1 และ 2 ไขน้ำเข้าเต็มถังในเวลา 12 และ 14 นาที ตามลำดับ
แต่ท่อน้ำ 3 ไขน้ำออกจากถังขนาดเดียวกันหมดภายใน 8 นาที
ถ้าเปิดท่อน้ำทั้ง 3 ในถังใบเดียวกันตอนปลายนาทีที่ 7 ถังใบนี้จะมีน้ำเหลือ
25 แกลลอน จงหาว่าท่อน้ำ 3 ไขน้ำออกไปกี่แกลลอน
วิธีทำ ให้สมมุติว่าแกลลอนนี้จุน้ำได้ X แกลลอน
เปิดพร้อมกัน3ท่อ
ตอนปลายนาทีที่7 หรือเข้าใกล้8นาที เหลือน้ำ 25แกลลอน
ใช้เวลา 14 นาที ในการเปิด ท่อ 2
ให้ได้น้ำเต้มถัง X แกลลอน
ถ้าใช้เวลา 8นาที
จะได้น้ำจากท่อ2ทั้งหมด 
แกลลอน
แกลลอน
ใช้เวลา12นาที ในการเปิดท่อ 1 ได้น้ำเต็มถัง X แกลลอน
ถ้าใช้เวลา8นาที
จะได้น้ำจากท่อ1 
แกลลอน
แกลลอน
ส่วนก๊อก3 ใช้เวลา8นาที ในการไขน้ำX แกลลอน จากถังอยู่แล้ว
พี่นำไปเขียนสมการ ได้ ท่อ 1+ท่อ
2 -ท่อ 3 = น้ำสะสมในถัง ถูกไหมครับ
+ -
X =25
แก้สมการ จะได้ X =105 ครับ
โจทย์ถามว่าก๊อก3ไขน้ำออกไปเท่าไหร่ = 105 แกลลอน
15.ถ้าครึ่งหนึ่งของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น
43 และสามเท่าของจำนวนน้อย มากกว่าสองเท่าของจำนวนมาก
อยู่ 23 จงหาจำนวนสองจำนวนนั้น
วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนน้อย
y แทนจำนวนมาก
จากข้อความ "ครึ่งหนึ่งของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 43"
จะได้ = 43 ----------- (1)
จากข้อความ "สามเท่าของจำนวนน้อย มากกว่าสองเท่าของจำนวนมากอยู่
23"
จะได้ 3x - 2y = 23 ----------- (2)
จัดสมการ (1) ใหม่ จะได้ x
+ y = 86 -----------
(3)
นำ 2 x (3) เพื่อให้สัมประสิทธ์หน้าตัวแปร y เท่ากับสมการ
(2)
จะได้ 2x + 2y = 172 ----------- (4)
แก้สมการโดยนำ (2) + (4)
จะได้ 5x = 195
x = 39
แทน x = 39 ในสมการ (3)
จะได้ 39+ y = 86
y = 86
- 39
y = 47
ดังนั้น จำนวนทั้งสองคือ 39 และ 47
16.อัตราค่าเข้าชมการแข่งขันฟุตบอลนัดพิเศษครั้งหนึ่งเป็นดังนี้
ผู้ใหญ่คนละ 200 บาท เด็กคนละ 100 บาท
ปรากฏว่ามีผู้เข้าชมทั้งหมด 10,000 คน
และขายบัตรเข้าชมได้เงิน 1,260,800 บาท อยากทราบว่ามีผู้ใหญ่
และเด็กเข้าชมการแข่งขันฟุตบอลครั้งนี้อย่างละกี่คน
วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนผู้ใหญ่
และ y แทนจำนวนเด็ก
จะได้ x + y = 10,000 ----------- (1)
จากข้อความ "ขายบัตรเข้าชมได้เงิน 1,260,800
บาท"
ซึ่งมาจากบัตรผู้ใหญ่และบัตรเด็ก
จำนวนผู้ใหญ่ x คน ค่าบัตรคนละ 200 บาท คิดเป็นยอดเงินจากผู้ใหญ่ 200x บาท
จำนวนเด็ก y คน ค่าบัตรคนละ 100 บาท คิดเป็นยอดเงินจากเด็ก 100x บาท
รวมเป็นยอดเงิน 200x + 100y บาท
จะได้ 200x + 100y = 1,260,800 ----------- (2)
นำ 200 x (1) เพื่อให้สัมประสิทธ์หน้าตัวแปร x เท่ากับสมการ
(2)
จะได้ 200x + 200y = 2,000,000 ----------- (3)
จาก (2) 200x + 100y = 1,260,800 ----------- (2)
แก้สมการโดยนำ (3) - (2)
จะได้ 100y = 739,200
y = 7,392
แทน y = 7392 ในสมการ (1)
จะได้ x + 7,392 = 10,000
x = 2,608
ดังนั้น
จำนวนผู้ใหญ่และเด็กที่เข้าชมการแข่งขันฟุตบอลครั้งนี้เท่ากับ 2,608 และ
7,392 คน ตามลำดับ
17.เมือง
ก และเมือง ข อยู่ห่างกัน 480 กิโลเมตร ประวิทย์ขับรถยนต์จากเมือง ก ไปเมือง
ข ส่วนกานดาขับรถยนต์
จากเมือง ข ไปเมือง ก บนเส้นทางเดียวกัน ทั้งสองออกเดินทางเวลา 6.00 น.
พร้อมกันเขาจะพบกันเวลา 9.00 น.
โดยประวิทย์ขับรถได้ระยะทางมากกว่ากานดา 30 กิโลเมตร
จงหาว่าแต่ละคนขับรถด้วยอัตราเร็วเท่าไร
วิธีทำ ให้ x แทนอัตราเร็วของประวิทย์
(กิโลเมตร/ชั่วโมง)
และ y แทนอัตราเร็วของกานดา
(กิโลเมตร/ชั่วโมง)
จากข้อความ "ทั้งสองออกเดินทางเวลา 6.00 น.
พร้อมกันเขาจะพบกันเวลา 9.00 น." แสดงว่าทั้งสองคนใช้เวลาขับรถยนต์
3 ชั่วโมง
ประวิทย์ขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว x กิโลเมตร/ชั่วโมง แสดงว่า 3 ชั่วโมง
ขับได้ระยะทาง 3x กิโลเมตร
กานดาขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว y กิโลเมตร/ชั่วโมง แสดงว่า 3 ชั่วโมง
ขับได้ระยะทาง 3y กิโลเมตร
จากข้อความ "เมือง ก และเมือง ข อยู่ห่างกัน 480
กิโลเมตร" แสดงว่าระยะทางที่ทั้งสองคนเดินทางได้รวมกันเท่ากับ
480 กิโลเมตร
นั่นคือ 3x + 3y = 480 ----------- (1)
จะได้ 3x - 3y = 30 ----------- (2)
แก้สมการโดยนำ (1) + (2)
จะได้ 6x = 510
x = 85
แทน x = 85 ในสมการ (1)
จะได้ 3(85) + 3y = 480
255 + 3y = 480
3y = 480
- 255
y = 75
ดังนั้น ประวิทย์และกานดาขับรถยนต์ด้วยอัตราเร็ว 85 และ
75 กิโลเมตร/ชั่วโมง ตามลำดับ
18.ผลบวกของจำนวนสองจำนวนมีค่าเท่ากับ 5
ขณะที่ผลต่างของสองจำนวนนี้เท่ากับ 3 จงหาจำนวนทั้งสอง
วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนที่ 1
และ y แทนจำนวนที่
2
จากข้อความ "ผลบวกของจำนวนสองจำนวนมีค่าเท่ากับ 5"
จะได้ x + y = 5 ----------- (1)
จากข้อความ "ผลต่างของสองจำนวนนี้เท่ากับ 3"
จะได้ x - y = 3 ----------- (2)
แก้สมการโดยนำ (1) + (2) 13x = 26
จะได้ 2x = 8
x = 4
แทน x = 4 ในสมการ (1)
จะได้ 4 + y = 5
y = 1
ดังนั้น จำนวนทั้งสองคือ 4 และ 1
19.เมื่อ
พ.ศ. 2521 ก อายุเป็นสามเท่าของอายุ ข ถ้าถึงปี 2536 ข
จะมีอายุมากกว่าครึงหนึ่งของอายุ ก
อยู่ 7 ปี อยากทราบว่า ข เกิดปี พ.ศ.ใด
วิธีทำ
ให้ พ.ศ.
2521...
ข อายุ = x , ก จะมีอายุ = 3x
พ.ศ. 2536 ...
ข อายุ = x+15 , ก จะมีอายุ = 3x+15
และ ข จะมีอายุมากกว่าครึงหนึ่งของอายุ ก อยู่ 7 ปี
ซึ่งจะเขียนสมการได้ว่า...
x+15 = (3x+15)/2 + 7
x+15-7 = (3x+15)/2
2(x+8) = 3x+15
2x+16 = 3x+15
x = 1
จะได้ว่า พ.ศ. 2521 ข อายุ 1 ปี , ก อายุ 3 ปี
พ.ศ. 2536 ข อายุ 16 ปี , ก อายุ 18 ปี
ดังนั้น ข เกิด พ.ศ. 2520
20.ถ้าผลบวกของจำนวนเต็มสองจำนวนเท่ากับ 7.1
และผลต่างของสองจำนวนนั้นเท่ากับ 3 จงหาจำนวนสองจำนวนนั้น
วิธีทำ
สมมุติให้จำนวนแรกคือ x
จำนวนที่สองคือ y
จากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดมาให้
สามารถเขียนเป็นสมการได้ 2 สมการ
ดังนี้
x + y = 7.1
เป็นสมการที่ (1)
x - y = 3
เป็นสมการที่ (2)
แก้สมการทั้งสองเพื่อหาค่าตัวแปร x และ y จะได้
จากสมการที่ (1)
x = 7.1
- y
แทนค่า x
นี้ ลงในสมการที่ (2)
เพื่อหาค่าตัวแปร y จะได้
(7.1 - y) - y = 3
7.1 - y - y = 3
7.1 - 2y = 3
-2y = 3 -
7.1
-2y = -4.1
y = -4.1/-2
y = 2.05
แล้วแทนค่า y = 2.05 นี้
ลงในสมการที่ (1) เพื่อหาค่าตัวแปร x
จะได้
x = 7.1
- 2.05
x = 5.05
สรุปว่าได้ x =
5.05, y = 2.05
ตัวอย่างโจทย์
ONET
1. ให้ x และ y สอดคล้องกับระบบสมการ 3x – y =4
และ x = 
-2 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
-2 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ
2. ระบบสมการนี้มีคำตอบ
3. ระบบสมการมีจำนวนคำตอบมากมายไม่จำกัด
4. ข้อมูลไม่เพียงพอที่จะหาคำตอบของระบบสมการ
วิธีทำ
จาก 3x – y =4
y = 3x -4
เพราะฉะนั้น
กราฟของสมการ y = 3x – 4 มีความชันเท่ากับ 3
จาก x = 
-2
-2
3x = y – 6
Y = 3x + 6
เพราะฉะนั้น
กราฟของสมการ y = 3x + 6 มีความชันเท่ากับ 3
จะได้ว่ากราฟของสมการ
y = 3x – 4 และ y = 3x +6 มีความชันเท่ากันจึงขนานกัน
ดังนั้น
ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ (1)
2.
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.
กราฟของสมการ 4(x – 3) = 3y ตัดแกน y ที่จุด y= -2
2.
กราฟของสมการ 3x – 
y = 
ตัดแกน x ที่จุด x = 
y = ตัดแกน x ที่จุด x =
3.
กราฟของสมการ y – 3x = 1 และ 3y – x = 1 มีความชันเท่ากัน
4.
กราฟของสมการ 3y – 4x = 5 และ 6y – 8x = 1 เป็นกราฟเส้นตรงที่ขนานกัน
เฉลย (4) จาก 3y
– 4x = 5
3y = 4x – 5
Y
= 
x + 
x +
กราฟของสมการ
3y – 4x = 5
มีความชันเท่ากับ 
จาก
6y – 8x = 1
6y = 8x +1
Y = 
x +
x +
กราฟของสมการ
6y – 8x = 1
มีความชันเท่ากับ 
ดังนั้น
กราฟของสมการ 3y – 4x = 5 และ 6y – 8x = 1 เป็นกราฟเส้นตรงที่ขนานกัน
3.
กราฟของสมการในข้อใดต่อไปนี้
ผ่านจุดที่กราฟของสมการ x + y = 3 และ y – x = 11 ตัดกัน
1.
2x + y = 1
2.
x – 2y = 8
3.
x + 2y = 11
4.
y – 2x = 15
เฉลย (4) y -2x = 15
หาจุดที่กราฟของสมการ
x + y = 3 และ
y – x = 11ตัดกัน ดังนี้
X + y =3
Y – x = 16
(1)–(2)
; 2x = -8
X = -4
แทน
X
= -4 ใน (1) ;
-4 + y = 3
Y = 7
ดังนั้น
จุดที่กราฟของสมการ x + y = 3 และ y – x = 11ตัดกัน คือ (-4,7)
4. กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใดๆ
สมการของข้อใดผ่านจุดกำเนิด
1. 2x – y = 5
2. x + (y+
) = 2
) = 2
3. x = y – 1
4. x + 2y – 2 = 0
เฉลย
(2) x + (y+
) = 2
) = 2
ถ้าสมการของกราฟผ่านจุดกำเนิด
(0,0) จะได้ว่าเมื่อแทน
x=0 และ
y=0 ในสมการแล้ว
สมการจะเป็นจริง
สมมติให้สมการของกราฟ
x + (y+4/2) = 2
ผ่านจุดกำเนิด
ดังนั้น
0 + (0+4/2) = 2 เป็นจริง
5.คำตอบของระบบสมการ 3x-2y = 6 และ 5x-3y = 10
ก.(0, 2)
ข.(2, 0)
ค.(0, -2)
ง.(-2, 0)
เฉลย
: ข้อ ง.
ให้
3x-2y = 6
..............(1)
5x-3y = 10 ..............(2)
5×(1) 15x-10y = 30 ..............(3)
3×(2) 15x-9y = 30 ..............(4)
(3)-(4) -y = 0
y = 0
แทนค่า y ใน(1) จะได้ 3x-2(0) = 6
3(x) = 6
x = 2
คำตอบของระบบสมการ คือ (2,0)
5x-3y = 10 ..............(2)
5×(1) 15x-10y = 30 ..............(3)
3×(2) 15x-9y = 30 ..............(4)
(3)-(4) -y = 0
y = 0
แทนค่า y ใน(1) จะได้ 3x-2(0) = 6
3(x) = 6
x = 2
คำตอบของระบบสมการ คือ (2,0)
6.กำหนด 2x-5 = 3y และ 17-y = 3x+3 ค่าของ 11(X+Y) เท่ากับเท่าไร
ก.50
ข.55
ค.60
ง.70
เฉลย
: ข้อ ค.
ให้ 2x-5 = 3y ........(1)
จะได้ 2x-3y = 5
และ 17-y = 3x+3
3x+y = 14 ........(2)
3×(2) 9x+3y = 42 ........(3)
(3)+(1) 11x = 47
x = 47/11
แทนค่า x ใน (2) 3(47/11)+y = 14
y = 14- 141/11
y = (154-141)/11 = 13/11
จะได้ 11(x+y) = 11[(47/11)+(13/11)] = [11(60)]/11 = 60
จะได้ 2x-3y = 5
และ 17-y = 3x+3
3x+y = 14 ........(2)
3×(2) 9x+3y = 42 ........(3)
(3)+(1) 11x = 47
x = 47/11
แทนค่า x ใน (2) 3(47/11)+y = 14
y = 14- 141/11
y = (154-141)/11 = 13/11
จะได้ 11(x+y) = 11[(47/11)+(13/11)] = [11(60)]/11 = 60
7.ถ้ากราฟเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดด้วยสมการ
x-2y = 5 และ kx+y = 5 ตัดกันที่จุด (-1,-3)
จงหาค่า k
ก.-7
ข.-8
ค.-9
ง.-10
เฉลย
: ข้อ ข.
แทนค่า
(-1,-3) ในสมการ x-2y = 5 และ kx+y = 5
จะได้ (-1)k+(-3) = 5
-k = 5+3
-k = 8
k = -8
จะได้ (-1)k+(-3) = 5
-k = 5+3
-k = 8
k = -8
8.คำตอบของระบบสมการ
x+y = 20 และ x-y = 10 คือข้อใด
ก.(10, 20)
ข.(15, 5)
ค.(5, 15)
ง.(20, 10)
เฉลย
: ข้อ
ข.
ให้
x+y = 20
........(1)
x-y = 10 ........(2)
(1)+(2) 2x = 30
x = 15
แทนค่า x ใน (1) จะได้ 15+y = 20
y = 5
∴ คำตอบของระบบสมการคือ (15,5)
x-y = 10 ........(2)
(1)+(2) 2x = 30
x = 15
แทนค่า x ใน (1) จะได้ 15+y = 20
y = 5
∴ คำตอบของระบบสมการคือ (15,5)
9.กราฟของสมการในจุดที่กราฟของสมการ X+Y=3และ X-Y=11 ตัดกัน
ก. 2X + Y = 1
ข. X - 2Y = 8
ค. X + 2Y = 11
ง. Y - 2X = 15
เฉลย
: ข้อ ง.
หาจุดที่กราฟสมการ
2 สมการตัดกันดังนี้
X+Y = 3 -(1)
Y-X = 11 -(2)
(1)
– (2) ; 2X = -8
X = -4
แทน
X=4ใน(1) ; -4+Y = 3
Y = 7
ดังนั้นที่จุดกราฟของสมการ
X+Y=3และ X-Y=11 ตัดกันคือ (-4,7)
ซึ่ง
ข้อ ง. 7-2(4) =
15 ผ่านจุด (-4,7)
10.คำตอบของระบบสมการ 
x + 
y = 5 และ
x – 
y = 2 คือข้อใด
x + y = 5 และ x – y = 2 คือข้อใด
ก.
( 
,
)
, )
ข.
( 
,-
)
,- )
ค.
(- 
,
)
, )
ง.
( - 
, -
)
, - )
เฉลย
: ข้อ ข.
x + y = 5 -(1) x – y = 2 -(2)
(1)
12 8x
+ 9y = 60 -(3)
12 8x
+ 9y = 60 -(3)
(2)
10 2x
– 3y = 20 -(4)
10 2x
– 3y = 20 -(4)
(4)
4 8x
– 12y = 80 -(5)
4 8x
– 12y = 80 -(5)
(5)
-(3) –21y = 20
y = - 
แทนค่า y = - 
ลงใน (3)
ลงใน (3)
จะได้ 8x + 9( –
) = 60
) = 60
8x – 
= 60
= 60
8x = 60 + 
8x = 
8x = 
X= 
คำตอบของระบบสมการ
x + 
y = 5 และ
x – 
y = 2 คือ ( 
,-
)
x + y = 5 และ x – y = 2 คือ ( ,- )
11.ให้ x และ y สอดคล้องกับระบบสมการ
2x – y = 3 และx = 5 +
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก.ระบบสมการนี้มีคําตอบเดียว
ข.ระบบสมการนี้ไม่มีคําตอบ
ค.ระบบสมการมีจํานวนคําตอบมากมายไม่จํากัด
ง.ข้อมูลไม่เพียงพอที่จะหาจํานวนคําตอบของระบบสมการได้
เฉลย
: ข้อ ข.
2x – y = 3 (1)
x = 5 +
(2)
(2)
จาก(2 ) ; y=2X-10 (3)
แทนค่า
y=2X-10 ลงใน (1)
2x – 2X-10 = 3
-10 =
3 ไม่เป็นจริง
ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีคำตอบ
12.ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. กราฟของสมการ
3(x – 2) = 2y ตัดแกน y ที่จุด y
= –2
ข.2. กราฟของสมการ
2x – 
y=
ตัดแกน x ที่จุด x
= 
y=
ตัดแกน x ที่จุด x
=
ค.กราฟของสมการ
y – 2x = 1 และ 2y – x = 1 มีความชันเท่ากัน
ง.กราฟของสมการ
2y – 3x = 5 และ 4y – 6x = 1 เป็นกราฟเส้นตรงที่ขนานกัน
เฉลย
:
ข้อ ง.
สมการ
1 2y
– 3x = 5
Y = 
x - 
x -
ความชัน
สมการ 2 4y – 6x = 1
Y = 
x + 
x +
ความชัน
ดังนั้นสมการ1และสมการ2
จึงขนานกัน
13.กราฟของระบบสมการ
3y – 2x -6 = 0 ตัดแกน x แกน y ที่จุดใด
1.
(-3,0) และ (0,2)
2.
(3,0) และ (0,-2)
3.
(3,0) และ (0,2)
4.
(-3,0) และ (0,2)
3y – 2x = 6
จะหาจุดตัดแกน
x ต้องแทน
y ด้วย
0
-2x = 6
X = -3
จุดตัดแกน
y =(0,2)
หาจุดตัดแกน
y ต้องแทน
x ด้วย
0
3y = 6
y = 2
จุดตัดแกน
y = (0,2)
เพราะฉะนั้น
จึงต้องตอบข้อ 4.
14.ข้อใดเป็นจุดที่เกิดจากกราฟของสมการ
-3x + 2y + 1 = 2
1.
(0,0)
2.
(0,1)
3.
(1,1)
4.
(1,2)
แทนค่า 1. ลงในสมการ -3(0) +2(0)+1 = 2
1
= 2 ไม่เป็นจริง
แทนค่า 2. ลงในสมการ -3(0) + 2(1) + 1 = 2
-2 + 1 = 2
3 = 2 ไม่เป็นจริง
แทนค่า 3. ลงในสมการ -3(1) + 2(1) + 1 = 2
-3 + 2 + 1 = 2
- 1 + 1 = 2
0 =
2 ไม่เป็นจริง
แทนค่า 4. ลงในสมการ -3(1)+ 2(2) +1 = 2
-3 + 4 + 1 = 2
1 + 1 = 2
2
= 2 เป็นจริง
เพราะฉะนั้น
ข้อนี้จึงตอบ 4.
15.เส้นตรง
2x – y = 6 ตัดกับ
x +2y + 2 = 0 ที่จุดใด
1. (-2,2)
2. (3,-1)
3. (1,-3)
4. (2,-2)
ให้
2x – y = 6
เป็นสมการที่ 1
ให้
3x – 2y = 11 เป็นสมการที่
2
นำ
2*สมการที่
1 4x – 2y = 10 สมการที่ 3
สมการที่ 1 – สมการที่ 3 (2x – y) – (2x + 4y) = 6 + 4
-5y = 10
Y = -2
แทนค่า
y = -2 ลงสมการที่
2
X + 2(-2) = -2
X + (-4) = -2
X = -2 + 4
X = 2
เพราะฉะนั้นข้อนี้จึงตอบ
4.
16.คำตอบของระบบสมการ
2x – y = 5 และ 3x – 2y = 11 ตรงกับข้อใด
1. (6, 7)
2. (4, 3)
3. (5,5)
4. (-1,-7)
2x – y = 5 สมการที่ 1
3x – 2y = 11 สมการที่ 2
2* สมการที่
1 4x – 2y = 10 สมการที่ 3
สมการที่
3 – สมการที่
2 ( 4x- 2y) – (3x -2y) = 10-11
X = -1
แทนค่า
x = -1 ลงสมการที่
1 2(-1) –y = 5
-2 –y = 5
-y
= 7
เพราะฉะนั้น
ข้อนี้จึงตอบ 4.
17.กราฟของเส้นตรงใดขนานกัน
1. y = 2x – 2 กับ y = 2x + 1
2. y = 3x -2 กับ y = x +
1
3. y = 4x + 1 กับ y = x – 3
4. y = 3x + 2 กับ y = 2x + 3
Y = mx + c
M = ความชัน
และถ้าความชันของสองสมการเท่ากัน
สองสมการนั้นจะขนานกัน
เพราะฉะนั้น
ข้อนี้จึงตอบ 1.
18.จงแก้ระบบสมการ
y = 5x + 70 และ
8x – 3y = -14
1. (28, 70)
2. (-28, 70)
3. (28,-70)
4. (-28,-70)
Y = 5x + 70 สมการที่ 1
Y -5x = 70
8x – 3y = -14 สมการที่ 2
3*สมการที่ 1 3y – 15x
= 210 สมการที่ 3
สมการที่ 2 + สมการที่ 3 (8x -3y) + ( 3y -15x ) =
-14 + 210
-7x = 196
X = -28
แทนค่า x = -28 สมการที่ 1 y =
5(-28) + 70
Y = -140 + 70
Y = -70
เพราะฉะนั้น ข้อนี้จึงตอบ4.
19.ในฟาร์มแห่งหนึ่งเลี้ยงไก่และหมู
ซึ่งนับขาได้ 264 ขา
และ นับหัวได้ 89 หัว
จงหาจำนวนของไก่และหมูว่ามีอย่างละเท่าใด
1. ไก่
46 ตัว
หมู 45 ตัว
2. ไก่
46 ตัว
หมู 43 ตัว
3. ไก่
47 ตัว
หมู 42 ตัว
4. ไก่
39 ตัว
หมู 50 ตัว
แทนค่าไก่ด้วย
y ตัว
หมู x ตัว
นับขาได้
264
ขา = 2x + 4y =264 เป็นสมการที่ 1
นับหัวได้ 89 หัว = X + y
= 89 เป็นสมการที่ 2
สมการที่ 1 – สมการที่ 2 = (2x
+ 4y) – (2x + 2y) = 264 – 178
2y = 86
Y = 43
แทนค่า
y = 43 ลงสมการที่
2 x + 43
= 89
X = 89 – 43
X = 46
เพราะฉะนั้นข้อนี้จึงตอบ
2.
20.เส้นตรง
3x + y = 1 ตัดกับเส้นตรงข้อใดที่จุด
(1,-2)
1. 5x – y = 7
2. 2x + y = 4
3. 2x – y = -4
4. 5x + y = -7
แทนค่า
(1,-2) ลงไปในตัวเลือกทั้ง
4
1.
5(1) – (-2)
= 7
5 + 2 = 7
7 = 7 เป็นจริง
2.
2(1)
+(-2) = 7
2 -2 = 7
ไม่เป็นจริง
3.
2(1) –(-2)
= 7
2 + 2 = 7
4 = 7 ไม่เป็นจริง
4.
5(1) +
(-2) = 7
5 - 2 = 7
3 = 7 ไม่เป็นจริง
เพราะฉะนั้น ข้อนี้จึงตอบ 1.
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น